Теорема Ферма для чайників? !! Не бійтеся, це не боляче ...

1. Чому вона так знаменита?Мало доведених, недоведених і поки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма являють собою найбільший контраст між простотою формулювання і складністю докази.

Велика теорема Ферма - завдання неймовірно важке, і тим не менш її формулювання може зрозуміти кожен з 5-ма класами середньої школи, а ось доказ - навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні у фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка формулювалася б так просто, але залишалася невирішеною так довго.

2. У чому ж вона полягає? Почнемо з піфагорових штанівФормулювання дійсно проста - на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «піфагорові штани на всі сторони рівні».

Проблема виглядає настільки простий тому, що в основі її лежало математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах. Тобто легко підібрати безліч чисел, які прекрасно задовольняють рівності х² + y² = Z². Починаючи з 3, 4, 5 - дійсно, младшеклассников зрозуміло, що

9 + 16 = 25.

Або 5, 12, 13:

25 + 144 = 169.

Чудово. Ну і так далі.

А якщо взяти схоже рівняння х³+ y³ = Z³? Може, теж є такі числа? І так далі (рис.1).

Так ось, виявляється, що їх НЕМАЄ.

Ось тут починається підступ. Простота - удавана, бо важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто привести це рішення. Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке-то рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац - а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент убитий. А як довести відсутність? Сказати: «Я не знайшов таких рішень»? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже, такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає силоньок? Ось це-то й складно.

У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратика відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2):

А проробимо те ж з третім виміром (рис. 3) - не виходить. Не вистачає кубиків, або залишаються зайві:

3. Історія: більше 350 років пошуку рішеньТеорема була сформульована П'єром Ферма в 1637 році на полях книги «Арифметика» Діофанта з припискою, що знайдене ним дотепне доведення цієї теореми надто довге, щоб його можна було тут помістити:

Навпаки, неможливо розкласти куб на два куба, біквадрат на два біквадрата і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником. Я знайшов цьому воістину чудесний доказ, але поля книги занадто вузькі для нього.

Дещо пізніше сам Ферма опублікував доказ окремого випадку для n = 4, що додає сумнівів у тому, що у нього був доказ загального випадку, інакше він неодмінно згадав би про нього в цій статті. Ейлер в 1770 році довів теорему для випадку n = 3, Діріхле і Лежандр в 1825 році - для n = 5, Ламі - для n = 7. Куммер показав, що теорема вірна для всіх простих n, менших 100, і так далі.

Але все це були окремі випадки, а не універсальне доказ для ВСІХ ЧИСЕЛ.

Над повним доказом Великої теореми працювало чимало видатних математиків, і ці зусилля призвели до отримання багатьох результатів сучасної теорії чисел.

Вважається, що Велика теорема стоїть на першому місці за кількістю невірних доказів. Багато починаючі математики вважали своїм обов'язком підступитися до Великої теореми, але довести її все ніяк не вдавалося. Спочатку не вдавалося сто років. Потім ще сто. Серед математиків став розвиватися масовий синдром: «Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу чи що? », І деякі з них на цьому ґрунті звихнулися в повному сенсі цього слова.

Деякі намагалися прославитися від зворотного: довести, що вона не вірна. А для цього, як ми говорили, досить просто напросто навести приклад: ось три числа, одне в кубі плюс другий в кубі - одно третій в кубі. І вони шукали такі трійки чисел. Але безуспішно ... І ніякі комп'ютери, ні з яким швидкодією, ніколи не змогли б ні перевірити теорему, ні спростувати її, адже всі змінні цього рівняння (в тому числі і показники ступеня) можуть зростати до нескінченності.

4. Нарешті! Нарешті 23 червня 1993 в Кембриджі відбулася найважливіша лекція з математики в ХХ столітті. Лектором був Ендрю Уайлс, англієць, професор Прінстонського університету. Ендрю Уайлс продемонстрував вченим повний доказ Великої теореми Ферма. Він йшов до цього 30 років, буквально з десятирічного віку. Його доказ потім ще було уточнено і вдосконалено в 1995 році, але найголовніше - Велика теорема була доведена! На це людству знадобилося 358 років. Для доказу була застосована «найвища» і найсучасніша математична наука. Тому викласти це доказ в рамках заміточка ніяк не можна, і читачам доведеться повірити на слово мені, математикам Кембриджа і Прінстона і так далі.

Це доказ закрило одразу дві сторінки історії: 350-річний пошук доказів Великої теореми і нескінченні навали ферматістов на всі математичні кафедри усіх університетів та інститутів у світі.

5. Хто такі ферматістов?Як сказано вище, формулювання Великої теореми дуже проста і зрозуміла, тому є стійка ілюзія, що і доказ її також має бути простим, зрозумілим і вкладатися в знання алгебри в обсязі 5-6 класів. Це породило незліченні натовпи фанатиків, званих ферматістов, які намагалися її довести, думали, що довели, і атакували кафедри та окремих учених з списаними зошитами в клітинку напереваги. Як все фанатики, вони нетерпимі до критики, сповнені намірів знести всі перешкоди і страшно самовпевнені. Зазвичай їх товсті праці відразу викидають, або дають студентам кафедри теорії чисел для пошуку помилки в якості вправи.

Як правило, всі докази зводяться до нехитрих алгебраїчним перетворенням: там додав, тут вирахував, звів все в квадрат, витягнув квадратний корінь, звернув за формулами скороченого множення, застосував біном Ньютона - і ось воно, довів. Цікаво, що більша частина доморощених ферматістов навіть не розуміє суті теореми - Вони доводять не те, що рівняння з показниками ступеня більше 2 не має цілих рішень, а просто намагаються довести, що х в степені N + y у степені N одно z в ступені N, що, як ви вже, я сподіваюся, розумієте, позбавлене всякого сенсу.

І адже доводять! Помилка, як правило, виникає при черговому зведенні рівняння в квадрат і наступному добуванні кореня. Здавалося б - звели в квадрат, потім витягли корінь - так на так і вийде, але вони завжди забувають про те, що х в квадраті і (мінус х) в квадраті рівні. Це елементарно, Ватсон!

Кафедри відбивалися, як могли. Вчений секретар одного з московських академічних інститутів, які не уникнув навали ферматістов, одного разу був у відпустці в Молдавії і на ринку купив якусь харчі, яку йому загорнули в місцеву газету. Повернувшись з ринку, він став переглядати цей листок і наткнувся на замітку, в якій повідомлялося, що місцевий шкільний вчитель довів теорему Ферма, і, як наслідок, співалися всякі дифірамби високому рівню обласної науки. Вчений секретар вирізав цю замітку, а після повернення до Москви вставив її в рамку і повісив на стіну свого кабінету. Тепер, коли на нього «нападав» черговий ферматист, він широким жестом запрошував того ознайомитися з «поточним станом справ». Життя явно стала легше. (Саймон СІНГХ, «ВТФ»).

Я думаю, після всього, що між нами було, читачі вже зможуть оцінити ліпшу мені якось на кафедрі в купі таких рукописів, зошитів і бандеролей телеграму:

Довів теорему ФЕРМА ТЧК ІКС СТУПЕНЯ Н ПЛЮС ІГРЕК СТУПЕНЯ Н ОДНО ЗЕТ СТУПЕНЯ Н ТЧК. ДОКАЗ ДВТЧ ПЕРЕНОСИМО ІГРЕК СТУПЕНЯ Н праву частину ТЧК докладний лист