П'ять доказів теореми Ферма на п'яти сторінках

Автор Дегтярьов Олександр Васильович

BRD, Friedrich-Richter Str. 51,13125, Berlin, МоЬ: 01639659078, Mail: [email protected]

Елементарне доказ теореми Ферма

1. Використовуємо малу теорему Ферма для доказу Великої теореми Ферма. Метод клонування рівнянь.

(Якщо в хр х- натуральне число, а р- просте число, то хр - х ділиться на р

без залишку)

Розглянемо рівняння Ферма в третього ступеня х3 + у3 = z3. (1)

Перетворимо його наступним чином: х3 - х + у3 - у - (z3- z) + х + у-z = 0,

х3 - х- у3 - у- (z3- z) діляться на 3 без залишку, отже, х + у - z теж

ділиться на 3 без залишку, (при цьому ми припускаємо що (1) виконується),

тобто х + у - z = 3n1 (2)

де n1 - натуральне число.

Уявімо (1) в наступному вигляді: х3 - х2 + у3 - у2 - (z3- z2) + х2 + у2 - z2 = 0

або х (х2-х) + у (у2-у) -z (z2-z) + x2 + у2 - z2 = 0 (3)

Члени рівняння (3) х (х2 - х) -у (у2 - у) - z (z2 - z) поділяються на 2 без залишку,

отже х2 + у2 - z2 повинно ділиться на 2 без залишку:

х2 + у2 - z2 = 2n2, де n2 - натуральне число.

Таким чином, для виконання рівняння (1) необхідне виконання

системи рівнянь: х + у - z = 3n1

x2 + у2-z2 = 2n2

x3 + у3 = z3

Розглянемо рівняння Ферма четвертого ступеня: х4 + у4 = z4 (4)

І перетворимо його: х (х3 - х) + у (у3 - у) - z (z3- z) + х2 + у2 - z2 = 0, де

х (х3 - х) - у (у3 - у) - z (z3- z) діляться на 3 без залишку, отже х2 + у2 ;

z2 теж має ділитися на 3 без залишку, тобто х2 + у2 - z2 = 3к2 (5)

де к2 - натуральне число.

Перетворимо (4) в наступному вигляді: х2 (х2 - х) + у2 (у2 - у) - z2 (z2-z) + х3 + у3

- Z3 = 0, х2 (х2 - х) - у2 (у2 - у) - z2 (z2- z) поділяються на 2 без залишку,

отже і х3 + у3 - z3 має ділитися на 2 без залишку, тобто

х3 + у3-z3 = 2к3, (6)

де к3 - натуральне число. Перетворимо (6) до виду

x3 - x + у3 - у - (z3- z) + x + у - z = 2k3

Тут х3 - х - у3 - у - (z3- z) діляться на 3 без залишку, отже х + у - z -2к3 ділиться на 3 без залишку, тобто х + у -z - 2к3 = 3к або х + у-z = k1, де натуральне число k1 = 2к3 + 3к

Таким чином, для виконання рівняння (4) необхідне виконання системи рівнянь: х + у - z = k1

x2 + у2 - z2 = 3k2

х3 + у3 - z3 = 2к 3

x4 + у4 = z4

-2;

Аналогічно перетворюються рівняння інших ступенів. Для рівняння п'ятого

ступеня: х5 + у5 = z5 (7а)

перетворення буде таким:

х5 - х + у5 - у - (z5- z) + х + у - z = 0 (8)

х3 (х2 - х) + у3 (у2 - у) - z3 (z2- z) + х4 + у4 - z4 = 0 (9)

х2 (х3 - х) + у2 (у3 - у) - z2 (z3- z) + х3 + у3 - z3 = 0 (10)

З (8) отримуємо: х + у - z = 5М1, з (9) одержуємо х4 + у4 - z4 = 2м4, з (10) отримуємо х3 + у3 - z3 = 3м3. З останнього отримуємо рівняння другого

ступеня наступним чином: х3 -х2 + у3 -у2 - (z3 - z2) + х2 + у2 -z2 = 3м3 або

х (х2 - х) + у (у2 - у) - z (z2 - z) + х2 + у2 - z2 = 3м3 (11)

З (11) отримуємо, що х2 + у2 - z2 - 3м3 ділиться без залишку на 2, тобто x2 + у2 - z2 - 3м3 = 2м, або х2 + у2 - z2 = м2, де натуральне число м2 = 2м + 3м3.

Таким чином, для того щоб виконувалася рівняння (7а) необхідно щоб виконувалася система уравненійx + y- z = 5М1

х2 + у2 - z2 = м2

х3 + у3 - z3 = 3м3

х4 + у4 - z4 = 2м4

x5 + у5 = z5

Систему рівнянь виду х + у - z = в1

x2 + y2 - z2 = в2 (12)

х3 + у3 - z3 = в3

х4 + у4 - z4 = В4

можна отримати з рівняння Ферма будь-якого ступеня. Завжди знайдеться таке число а, що р-а = б буде простим числом, тоді з

х а (хб - х) + уа (У6 - у) - za (z6- z) + xa + 1 + ya + 1 - za + 1 = 0

отримуємо, що x a + 1 + у a + 1 - z a + 1 ділиться на число б без залишку, тобто

Хa + 1 + уа + 1 - za + 1 = Бn (13)

де n - натуральне число. Аналогічно знижуючи ступінь рівняння отримаємо систему рівнянь (12) для будь-якого рівняння виду хp + ур = zp.

Будь-яке рівняння хр + уP = zp можна замінити на систему рівнянь як з більш високим ступенем, так і з більш низьким ступенем, причому кількість рівнянь в системі не обмежена.

Доказ № 1 теореми Ферма:

З х3 + у3 = z3 отримуємо рівняння більш високого ступеня, наприклад

(Х3 - х5) + (у3 - у5) - (z3- z5) + x5 + у5 - z5 = 0

x2 (х3 - х) + у2 (у3 - у) - z2 (z3 - z) ділиться на 3 без залишку, отже

х5 + у5 - z5 ділиться на 3 без залишку, тобто

х5 + у5 - z5 = 3n5. (13а)

З (13а) отримуємо рівняння третього ступеня х3 + у3 -z3 = В3, де В3 натуральне число не рівне нулю. Для виконання рівняння х3 + у3 = z3 необхідно, щоб існувало рішення системи рівнянь виду

-3;

x3 + y3 -z3 = B3 (13б)

х3 + у3 = z3

що неможливо. Аналогічно для будь-якого рівняння ступеня р xp + yp = zp

отримуємо рівняння виду xp + yp -zp = Вр і вирішуючи систему рівнянь, яка містить

xp + yp -zp = Вр

xp + yp = zp

робимо висновок, що вирішення цієї системи немає, отже немає рішення і у рівняння xp + yp = zp.

2. Доказ № 2 теореми Ферма.

Лемма. Для виконання рівняння третього ступеня x3 + y3 = z3 необхідно, щоб куби x3, y3, z3 складалися з однакових кубиків V, щоб їх кількість була цілим числом і за кількістю відповідало числах n3, n9, n27 і так далі (у загальному випадку - ( np) 3 = n3p, де n і р - натуральні числа).

Тоді

Vh3R + Vh3D = Vh3F, Vh3R = n, Vh3D = m, Vh3F = k

Vn3 + Vm3 = Vk3, (14)

Де Vn3 = x3, Vm3 = y3, Vk3 = z3.

Нехай х3 - куб V1, y3 - куб V2, z3 - куб V3. Вкладемо V2 в V3 (віднімемо з V3 V2).

Об'єм, що залишився (V3 - V2) повинен бути дорівнює обсягу V1. Якщо загальний обсяг

(Перетин V3 і V2) складається з n3р кількості маленьких кубиків V, то різниця об'ємів (V3 - V2) повинна містити m3k обсягів V для того, щоб з цих кубиків можна було побудувати куб V1, тобто для виконання умови

х3 + у3 = z3. Скорочуючи (14) на V, отримаємо n3 + m3 = k3, для виконання якого необхідно V1 r3 + V1s3 = V1t3,

де V1 r3 = n3, V1s3 = m3, V1t3 = k3.

Скорочуючи на V1 рівняння (15) отримаємо r3 + s3 = t3.

Так можна продовжувати нескінченне число разів. Звідси випливає, що якщо рівняння х3 + у3 = z3 має хоча б одне рішення, то воно матиме нескінченно багато рішень. Рівняння виду

xp + yp = zp (15a)

можна представити у вигляді (xp / 3) 3 + (yp / 3) 3 = (zp / 3) 3 (16)

-4;

яке можна розглядати як кубічну зі сторонами куба хр / 3- ур / 3-zр / 3. Щоб рівняння (15а) мало рішення, необхідно щоб куб (хр / 3) 3 містив n3p кубиків V, тобто (Хр / 3) 3 = V n3р - куб (уP / 3) 3 містив m3k кубиків V, тобто

(Ур / 3) 3 = V m3k - куб (zp / 3) 3 містив r3f кубиків V, тобто (Zp / 3) 3 = Vr3f.

Тоді (16) перетворюється до виду

V n3p + V m3k = V r3f (16а)

Скорочуючи на V, отримаємо

n3p + m3k = r3f (16б)

яке після підстановки np = х- mk = у- rf = z

перетвориться в рівняння Ферма третього ступеня х3 + у3 = z3, яке не має рішень, отже, не має рішень і (15а). Теорема: Рівняння виду хр + ук = zf для натуральних чисел х, у, z, р, к, f і при р, к, f gt; 2, не виконується.

Для доказу в (16б) зробимо підстановку n3 = х - m3 = у- r3 = z і отримаємо

хр + ук = zf (16в)

Тому що не виконується вихідне рівняння (15а), то не виконується і рівняння (16в).

Доказ № 3

Якщо не виконується система рівнянь (12), або хоча б два з її рівнянь не мають загального рішення, то рівняння хр + ур = zp не виконуватиметься в натуральних числах.

В системі рівнянь (12) розглянемо рівняння

x2 + у2 - z2 = в2 або х2 + у2 = z2 + в2 = U. Воно повинно мати рішення в

натуральних числах. Коріння цього рішення відомі:

х = m2 - n2

у = 2mn

U = m2 + n2

Рівняння х4 + у4 - z4 = В4 можна представити у вигляді (х2) 2 + (у2) 2 = (z2) 2+ В4

= (V2) 2, яка повинна виконуватися в натуральних числах як квадратне

рівняння, тобто .:

х2 = m2 - n2

у2 = 2mn

V2 = m2 + n2

Тоді х2 = х- у2 = у- V2 = U = (z4 + В4) 1/2 = (z2 + в2) # 189- з яких видно, що х = 1 = у. При цих значеннях х, у рівняння xp + yp = zp не може виконуватися в натуральних числах.

Доказ № 4. Графічне.

-5;

З малюнка видно, що в перетині площині х + у - z = в1 і однополостного

гиперболоида х2 + у2 - z2 = в2 буде еліпс. Поверхня х4 + у4 - z2 = В4

симетрична щодо осі Z, як і поверхня х2 + у2 - z2 = в2. Вони можуть перетнутися в площині, перпендикулярній осі Z. У перетині буде коло. Ця окружність може перетнутися з еліпсом в одній або двох точках. Але згідно доведеному в п. 2 рівняння хр + уP = zp

Не може мати обмежену кількість рішень, отже система рівнянь (12) не має рішень і рівняння хp + ур = zp не має жодного рішення.

5. Доказ № 5.

Розглянемо рівняння

хх + уу = zz (20)

Легко перевірити підстановкою, що воно не виконується для будь-яких натуральних чисел.

Представимо його у вигляді

(XХ / 3) 3+ (уу / 3) 3 = (zz / 3) 3

Згідно п. 2 воно перетвориться до виду

V n3p + V m3k = V r3f (21)

Cокращая на V і роблячи заміну n3 = L- m3 = Q- k3 = W одержимо рівняння

Lp + Qr = Wf (22)

Яке не виконується, тому що не виконується вихідне рівняння (20).