Число Пі. Що про нього відомо сьогодні?

Про те, що відношення довжини кола до її діаметра є величина постійна, не залежна від довжини кола, люди знали ще в давнину. Так, наприклад, жителі Межиріччя вважали це число рівним трьом. Що ми знаємо про число Пі сьогодні?

Історія

Ще в давньоєгипетських папірусах були знайдені опису математичних задач, число Пі в яких було рівним 4 * (8/9) ^ 2. Неважко порахувати, що ця формула дає величину 3.16 (що, до речі, цілком достатньо для «побутових» задач).

Відомий вчений Архімед знайшов ще більш точне значення 3 1/7, що дає величину 3.1428. В Вавилоні було відомо значення 25/8, що дає величину 3.125. До речі, вважається, що саме Архімед запропонував перший математичний метод обчислення числа Пі, за допомогою розрахунку вписаних в коло багатокутників. Це дозволяло обчислювати значення не "напряму», з циркулем і лінійкою, а математично, що забезпечувало набагато більшу точність.

І нарешті в 3-му столітті нашої ери китайський математик Лю Хуей придумав перший ітераційний алгоритм - алгоритм, в якому число обчислюється не однієї формулою, а послідовністю кроків (ітерацій), де кожна наступна ітерація збільшує точність.

Суть ітераційної формули Лю Хуея наступна (sqrt - операція квадратного кореня):

Pi-0 = 6 * sqrt (2 - sqrt (2 + 1)) = 3.106

Pi-1 = 12 * sqrt (2 - sqrt (2 + sqrt (2 + 1))) = 3.133

Pi-2 = 24 * sqrt (2 - sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2 + 1)))) = 3.139

Pi-3 = 48 * sqrt (2 - sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2 + 1))))) = 3.141

Як можна бачити, значення попереднього кроку використовується в наступному, що помітно полегшує розрахунки (що особливо важливо, якщо врахувати, що в 3-му столітті калькуляторів ще не було). Як показує розрахунок на комп'ютері, вже 10 ітерацій цього алгоритму достатньо для обчислення Пі з точністю до однієї десятимільйонна. Сам Лю Хуей, зрозуміло, отримав менше знаків, але був важливий сам принцип - ітераційні алгоритми і зараз є єдиним способом обчислення Пі з будь-яким ступенем точності (для прикладу можна навести відкриту в 1674г формулу Лейбніца: PI = 4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ... (з якої очевидно, що чим довше вважати, тим більше точність).

Так паралельно з розвитком математики росла і точність обчислень. Математик з Ірану Джамшид ібн Мас'уд ібн Махмуд Гіяс ад-Дін аль-Каші в 15-му столітті обчислив число Пі з точністю до 16 знаків, а в 17-му столітті голландський математик Лудольф обчислив 32 знака числа Пі. Тоді ж, до речі, в 1706 році сучасне позначення цього числа ввів У. Джонсон.

І нарешті в 1766 році математик Ламберт довів, що число Пі є ірраціональним, тобто не може бути виражене ніякої простий дробом. У 19-му столітті було доведено, що число також не може бути коренем будь-якого рівняння. Тобто, по суті, число Пі є нескінченним, у нього немає кінця, його можна лише обчислити з потрібним ступенем точності.

Чи є у цього числа якась внутрішня структура, невідома закономірність? Дізнатися це хотіли багато. Відомо, що в 19-му столітті англієць Вільям Шенкс, витративши 20 років, обчислив Пі до 707 знака, проте він так і не дізнався, що в 520-му знаку допустив помилку і всі останні роки обчислень виявилися марними (в ітераційних алгоритмах хоч одна помилка робить все подальші кроки марними).

Сучасність

Зрозуміло, з появою комп'ютерів вивчення числа Пі пішло на порядки швидше.

У 1949 році на комп'ютері ЕНІАК було обчислено 2000 знаків числа, на що пішло 70 годин (для порівняння, сучасний iPhone обчислює 100000 знаків Пі за 10 хвилин). Рубіж у мільйон знаків був подоланий в 1973 році. Існують різні методи, наприклад, алгоритм Рамануджана, алгоритм Брента-Саламина, формула Плафф і багато інших. На сьогоднішній день число Пі обчислено з точністю 10 трильйонів цифр після коми.

Для чого це робиться? По-перше, це просто цікаво (і частково схоже на спорт), по-друге, ймовірно, вчені не залишають надії знайти якісь нові закономірності.

Наприклад, подивимося на першу тисячу знаків числа Пі (дивно, але на отримання цього короткого набору рядків у людства пішло 3000 років):

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406

28620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940

81284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461

28475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249

14127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053

05488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931

05118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656

64308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846

76694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249

53430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629

77477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534

69083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206

17177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532

1712268066130019278766111959092164201989

Послідовність цифр схожа на випадкову, проте чи можуть в ній бути повторювані цифри? Виявляється, так, на 762 знаку знаходиться так звана «точка Фейнмана», Що складається з чисел 999999. Уважним читачам пропонується знайти це місце самостійно. До речі, архів числа Пі бажаючі можуть знайти і викачати самостійно, вельми цікаво пошукати в цьому тексті якісь числа. Так наприклад, в 4000000 знаків Пі можна знайти всі 6-значні послідовності «111111», «222222», .. «999999». На приблизно 40-мільйонному знаку можна знайти дату початку 2-ї світової війни (22061941), а на сімидесятимільйонним - дату її закінчення (09081945). Є також роки існування СРСР (19171991). Можна пошукати і свій день народження (напевно, є і день смерті, але заздалегідь ми це не дізнаємося).

Є навіть жарт про те, що в числі Пі збережені всі знання світу, їх треба тільки вміти знайти.

Висновок

Дивне поруч. Можна точно сказати, що історія вивчення числа Пі ще не закінчена і, виходячи з природи цього числа, що не буде закінчена ніколи. Бажаючі можуть вивчити це питання самостійно.

До речі, якщо зіставити кожній цифрі 0..9 ноту, то число Пі можна представити і у вигляді набору звуків. Деякі музиканти робили мелодії та аранжування на цю тему, бажаючі можуть пошукати їх в youtube. Володарі гарної пам'яті тренуються в запам'ятовуванні числа Пі, відомі люди, які пам'ятають кілька тисяч знаків.

Взагалі, математика - це вельми цікава наука. Не менш захоплюючими, ніж число Пі, є і прості числа.