Як винайшли цифру, що позначає «нічого»? Історія нуля

«...- А ще один університетський чарівник якось розповів мені, що є така штука,« нічого », ну, ти напевно знаєш, так от, її-то клатчци і придумали. А я його й питаю: «Як так? Те саме нічого? »-« Ага, - каже. - Це і є їх великий внесок у архіметіку. А саме - нуль ».

- І справді, схоже, не дуже розумні люди то, - зауважив Шноббі. - Я ось теж, наприклад, нічого не винайшов. Так кожен може.

- До чого я і веду, - підтримав Колон. - Я цьому чарівникові кажу: є, мовляв, люди, які придумали, припустимо, чотири ... або ... або ...

- ... Сім ...

- Точно, сім. Ось ці люди - справжні генії. А НІЧОГО винаходити не треба. Воно й так є ».

(Т. Пратчетт «Патріот»)

Сьогодні це може здаватися дивним, але європейська математична традиція довгий час не знала ніякого нуля. І навіть після того, як дізналася, намагалася подовше без нього обходитися. І дійсно - навіщо потрібно число, яке нічого не обчислює? Маячня якась ... Та й перші європейські системи обчислення нуля не вимагали, бо були непозиційних.

Однією непозиційній системою ми користуємося дотепер. Кому не знайома римська нумерація, якої ми позначаємо століття, королів-тезок і розділи в книгах? Нуль в цій системі відсутня. Число 20 записується двома десятками (ХХ = 10 + 10), а 102 - сотнею і двома одиницями (CII = 100 + 1 + 1). Начебто все просто, але от біда - для кожного нового розряду треба вигадувати новий знак (I- 1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000), інакше велике число з одних одиниць стане довгим і нерозбірливим. Однак і з додаванням нових знаків числа часто виглядали громіздко. На постаменті знаменитого пітерського Мідного вершника написана дата відкриття пам'ятника - MDCCLXXXII. Відразу ви здогадаєтеся, що це 1782? Ну а здійснювати підрахунки, оперуючи такими числами, було ще важче.

Втім, на практиці ніхто паличками, пташками і хрестиками не рахував. Для цього використовували рахункові дошки - абаки. Абак в різних обличчях виявився вельми живучим винаходом. Тільки калькуляторам вдалося витіснити порахунки, якими досконало володіла ще моя бабуся-бухгалтер. Абаки і рахунки були розділені на кілька позиційних рядів. Так, щоб позначити на рахунках число двісті сім, на першому дроту (розряд одиниць) відкидали вбік сім кісточок, на третьому (ряд сотень) - дві, а на другий (розряд десятків) нічого не відкидали, так як десятків в числі не було . Ось цю прогалину, це пусте місце і стало першим прообразом нуля. Говорячи образно, нуль як число і цифра з'явився практично з нічого.

Сталося це, звичайно, не відразу. Одна справа - порожнє місце, інша справа - знак, і вже зовсім третє - число. Перші кроки від пропуску до знаку зробили вавилоняни. Їх система рахунку була позиційної, як і наша, але якщо у нас кожен новий розряд в десять разів більше попереднього, то у вавилонян - у шістдесят. Суть позиційної системи полягала в тому, що кожен новий розряд записувався одними і тими ж знаками, тільки розташовували їх лівіше попереднього розряду. У вавилонян знаків було два: вертикальним клинцем позначали одиницю, а горизонтальним - десятку. Таким чином записували числа до 59, а число 60 знову позначали вертикальним клинцем. Як це виглядало, ви можете побачити на малюнку внизу.

Якщо який-небудь розряд був відсутній, вавилоняни ставили пробіл, а в V ст. до н.е. стали позначати пропущений розряд двома клинцем. Правда, в кінці числа відсутність розряду не означає, внаслідок числа 1 і 60 виглядали однаково і розрізнялися, мабуть, виходячи з контексту того, що вважали.

Батьківщиною справжнього нуля по праву вважають Індію, математики якої, судячи з усього, поєднали позиційний принцип вавилонян з десятковою системою китайців. Геніальним підсумком індійської математики став запис будь-яких чисел за допомогою десяти цифр, якими ми користуємося понині і які не зовсім справедливо називаємо арабськими (Cами араби, до речі, завжди називали їх індійськими). Пізніше всіх знаком нагородили злощасний нуль.

Саме поняття нуля (індійці називали його «сунья / шунья» - пусте) мабуть виникло в середині V століття. Перше ж зображення нуля було виявлено в числі 270, написане на стіні р Гвалиора (876 м). Дуже важливо, що нуль тут вперше стоїть в кінці числа і зовні нагадує знайому нам дірку від бублика (хіба що трохи менше за інших цифр). Форма нуля відобразилося і в нашій мові, адже коли ми хочемо залишити в числі тільки великі розряди, замінивши інші нулями, то говоримо «округлити».

Є гіпотеза, що сам знак нуля індійці перейняли у греків. Так-так, грецька непозиційних система годилася для невеликих чисел, але для точних і громіздких астрономічних розрахунків Клавдію Птолемею доводилося користуватися вавилонської системою - з її допомогою він записував дробу. Замість пропущеного розряду астроном ставив букву «О». Як і вавилоняни, наприкінці числа пропущений розряд Птолемей не позначав і числом не рахував.

Зауважте, нуль має сенс лише там, де ми говоримо про відсутність чого-небудь. У християнському богослов'ї навіть був прийом докази буття Божого через заперечення. Він називався апофатичного і полягав у тому, що Бога визначали через те, чим він не є. Так і нуль служить для обчислення відсутність в категоріях, які самі є існуючими. Розряд в числі - категорія реальна і конкретна, але якщо він порожній, то ми вживаємо для його кількісної характеристики нуль.

Ще простіше це пояснити на прикладі кількох бідонів для молока. Відсутність в одному з них молока аж ніяк не скасовує самого бідона, тому число «нуль літрів» має цілком конкретне ставлення як до бідона, так і до відсутнім в ньому молоку. У математиці одне з визначень нуля так і говорить: «Нуль - це міра порожнього безлічі, число елементів у множині, в якому немає жодного елемента».

Виникнення нуля в десяткового позиційній системі зробило революцію в математиці, полегшивши як запис чисел, так і арифметичні дії з ними. Араби, вторглися на територію Індії в VII столітті, не могли пройти повз цього великого відкриття. Вони взяли індійську систему і розвинули її (безліч математичних термінів - алгебра, алгоритм - мають арабське походження). Знаменитий математик Аль-Хорезмі (IX ст.) Писав у своїй книзі «Індійське мистецтво рахунки»: «Якщо не залишається нічого, то пишуть маленький гурток, щоб місце не залишалося порожнім. Цей гурток повинен зайняти місце, тому що в іншому випадку у нас буде менше розрядів, і другий, наприклад, ми можемо порахувати за перший ».

До речі, довгий час слово «цифра» означала саме «нуль» і ніщо інше (інд. «Сунья», араб. "Аль-Сифре», лат. Ciffra). Від ciffra відбулося безліч назв, включаючи слова «шифр» і «зеро», добре відоме любителям гри в рулетку. Пізніше термін «цифра» поширився на всі знаки арабської нумерації. Слово ж «нуль / нуль» увійшло в побут в XVI столітті і походить від грецького nullus - «ніякої».

Через арабів індійська система рахунку прийшла в Європу.

Одним з перших пропагандистів арабської системи в Європі був італійський математик Леонардо Фібоначчі. У 1202 році він написав у своїй «Книзі абака»: «Дев'ять індуських знаків суть наступні: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. За допомогою цих знаків і знака 0, який називається по-арабськи zephirum, можна написати яке завгодно число ».

Реклама Фібоначчі не особливо подіяла на європейську професуру, вона воліла не зв'язуватися з підозрілими нулями і арабами і продовжувала вважати по-старому - за допомогою античної системи або абака. Так, італійський математик Джеронімо Кардан (1501-1576) примудрявся вирішувати кубічні і квадратні рівняння, не користуючись нулем, що робило розрахунки вкрай складними.

Зате арабську систему відразу оцінили далекі від високих матерій купці і банкіри, вона була незамінна для розрахунків, і до XV століття торгаші користувалися нею щосили. Остаточно десять арабських знаків утвердилися в європейській науці лише до початку XVIII століття.

Причини такого стійкою неприязні до нуля заслуговують окремої розмови, бо кореняться в особливостях античного світосприйняття.